Корреляционная структура российского фондового рынка во время кризисов

Динамика фондового рынка определяется коллективным мнением участников рынка о стоимостях акций и отражает доступную информацию в каждый момент времени. В свою очередь, для понимания факторов, определяющих динамику рынка акций, необходимо учитывать взаимосвязи между его структурными элементами, что зачастую представляет сложную задачу. Одним из способов решения данной проблемы является корреляционный анализ исторических данных о доходностях акций, который позволяет достаточно эффективно выделить определенную информацию о структуре и поведении фондового рынка.

Как показано в работе [2], максимальные остовные деревья корреляционного графа доходностей акций могут достаточно полно отражать внутреннюю структуру рынка акций, которые группируются в отдельные структуры на основе схожих экономических признаков (в частности, по отраслевому признаку). Более того, данный метод позволяет раскрыть иерархическую структуру фондового рынка, а также отслеживать динамику корреляций во времени.

Определение топологической меры и матрицы смежности графа

Для построения графов, описывающих корреляции акций, используем подход, описанный в работе [3].

Корреляция ρij между двумя акциями i и j определяется следующим образом:

(1)

где

Xi и Xj – логарифмические доходности акций;

i и j, μi и μj – средние значения логарифмических доходностей за рассматриваемый период;

σi и σj – стандартные отклонения случайных величин.

Для того чтобы отобразить взаимосвязь между акциями на плоскости, необходимо описать структуру графа. Тем менее, как показано в работах [1] и [2], корреляция не может служит топологической мерой, то есть расстоянием на плоскости. Поэтому матрица D(dij) смежности взвешенного графа должна быть определена следующим образом:

(2)

где d – это вес ребра, определяющее расстояние между соответствующими вершинами графа.

Из этого определения следует, что полученный граф является топологически эквивалентным (гомеоморфным) корреляционному графу акций для неотрицательных корреляций, где более сильная корреляция отображается более близким расстоянием между акциями. Таким образом, при построении графа акции будут группироваться на плоскости с разной плотностью, и, следовательно, наиболее плотное распределение акций на плоскости должно наблюдаться у акций с наибольшей корреляцией между собой.

Методы анализа корреляционной матрицы

Для анализа корреляционной матрицы используется ряд методов.

Основной способ первичного анализа и визуализации корреляционной матрицы сводится к построению специальных графиков – дендрограмм (максимальных корреляционных деревьев).

Наиболее простыми способами построения графических интерпретаций подобного типа являются метод «корреляционных плеяд» П.В. Терентьева и «вроцлавская таксономия», разработанная польскими учеными Вроцлавского математического института.

Алгоритм Терентьева осуществляет выделение сильно связанных групп признаков («корреляционных плеяд») и сводится к следующему. Задается пороговое значение коэффициента корреляции ρ0, с помощью которого производится построение срезов корреляционного цилиндра, из которых формируется последовательность подграфов, принимаемых в качестве «плеяд». Узлами этих подграфов являются все рассматриваемые признаки, а ребрами – корреляционные связи по абсолютной величине больше ρ0.

Пример выделения корреляционных плеяд приведен на рис. 1 (см. на с. 136).

Рис. 1. Выделение подграфа на основе пороговых значений корреляции

Результатом вроцлавской таксономии является полный незамкнутый корреляционный путь, который можно отобразить в виде максимального остовного дерева графа. Он представляет собой графическую структуру, состоящую из m вершин, соединенных между собой (m – 1) ребрами так, что каждая вершина соединена хотя бы с одной другой. Если длину каждого ребра ассоциировать с величиной коэффициента корреляции ρij между вершинами i и j, то такое остовное дерево имеет максимальную сумму длин соединяющих отрезков из всех возможных. Как уже отмечалось выше, так как корреляционная мера по своему смыслу является обратной мере дистанции, то граф максимального корреляционного пути идентичен «минимальному остовному дереву графа», то есть дереву минимальной протяженности.

Построение подграфа начинается с выбора двух наиболее сопряженных признаков, для чего в матрице коэффициентов корреляции определяется максимальное значение ρij; признаки i и j образуют две первые вершины графа. Далее в строках i и j находится следующий наиболее сопряженный, образующий новую третью вершину. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будут задействованы все признаки. Алгоритм вроцлавской таксономии полностью соответствует известному в кластерном анализе методу ближайшей связи.

Пример построения минимального остовного дерева приведен на рис. 2 (см. на с. 137).

Рис. 2. Минимальное остовное дерево графа

Оба метода имеют достаточно хорошую иллюстративность при любой размерности m корреляционной матрицы. Метод Терентьева, выделяющий все возможные внутриплеядные связи, более чувствителен к величине порога разбиения ρ0, и при его снижении возможно загромождение графа малоинформативными ребрами. Количество ребер подграфа в этих условиях никогда не превышает (m – 1), однако структура полученных кластеров сильно зависит от случайных флуктуаций корреляционной матрицы: при незначительных изменениях величины хотя бы одного коэффициента ρ0 может произойти коренная перестройка всего графа.

Корреляционный анализ акций

Для построения корреляционной матрицы использовались данные по 40 акциям крупных российских компаний, торгующихся на ММВБ, после чего была определена матрица смежности соответствующего полного графа корреляций. Далее, на основе матрицы смежности было построено минимальное остовное дерево графа в соответствии с топологической мерой, определенной выше.

На рис. 1 показано выделение корреляционной плеяды из графа на основе 40 акций для порогового значения ρ0 = 0,7.

На рис. 2 приведено минимальное остовное дерево матрицы смежности для 40 акций российского фондового рынка. Вершины графа обозначают код акции (тикер), а расстояния между вершинами определяются метрикой dij, описанной выше.

Из данного графа хорошо видно, что «голубые фишки» российского рынка располагаются в центральной области, являясь неким «стержнем» корреляционного графа.

Корреляционные графы биржевых индексов

Далее, для визуализации и анализа корреляционной структуры рынка по отраслям, построим корреляционные графы отраслевых индексов ММВБ и РТС. Таким образом были построены графы, отражающие последовательность падения фондового рынка России. Более темная окраска вершин графов соответствует более сильному размеру падения индекса относительно других индексов.

Размер вершин соответствует относительной капитализации конкретного индекса в данный момент времени.

Представления в виде корреляционных графов (см. рис. на с. 139), позволило в динамике рассмотреть падение фондового рынка и выделить кластеры индексов и характер их снижения. Анализ динамики корреляционных графов выявил, что:

– первыми стали снижаться компании финансового и нефтегазового сектора, которые находятся в центре графа;

– снижение других отраслевых индексов, находящихся дальше от центра, произошло с задержкой;

– отраслевые индексы каждой биржи группируются близко друг к другу, причем «мостом» между ними выступают индексы финансового сектора.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что минимальное остовное дерево корреляционного графа достаточно полно отражает основную структуру фондового рынка и помогает выявить схожую динамику поведения как отраслей рынка, так и отдельных акций. Более того, со временем структура такого остовного дерева меняется относительно медленно, как показано в работе [1], поэтому можно эффективно выделять кластеры акций, отражающие определенные экономические характеристики, основываясь только на исторических данных о доходностях ценных бумаг.

«Эффект заражения» и «эпидемия ожиданий»

Одним из предположений о распространении кризисных явлений на финансовом рынке является предпосылка об «эффекте заражения», то есть об «эпидемическом» процессе переноса кризисных явлений от одного контрагента к другому, например, в результате дефолта по обязательствам. Как показали результаты, распространение кризисных явлений на рынке акций имеет сходство с подобными процессами, но, в случае фондового рынка, данное предположение скорее всего, не может быть полностью взято за основу объяснения механизмов распространения кризиса. В отличие от «эффекта заражения», например, в банковском секторе, где теория позволяет возникновение каскадных дефолтов вследствие невыполнения обязательств между контрагентами и последующего ухудшения балансов, взаимосвязанное падение котировок акции происходит по мере распространения негативных новостей и отражает «эпидемию ожиданий» общего ухудшения экономической ситуации.

Тем не менее, применение корреляционного анализа в комплексе с методами сетевой науки позволяет выявлять структуру и поведение фондовых рынков, основываясь только на исторических данных о доходностях ценных бумаг. Это может помочь при анализе акций, торгующихся на различных фондовых рынках, а также при решении об оптимизации портфеля ценных бумаг.