Принцип многопроекционной кластеризации экономических систем

Введение

Взаимосвязанные вопросы устойчивого и безопасного развития, научно-технического прогресса и роста экономики, качества этого роста широко обсуждаются в профильной научно-экономической литературе [20, 22] (Sadovnichy [et al.], 2023; Gorodetsky [et al.], 2023) и многих других публикациях. Существенное место в такого рода исследованиях занимает проведение сопоставлений на уровне государств и их объединений, регионов, отраслей, видов экономической деятельности, муниципалитетов, предприятий и организаций, бизнес-единиц и пр. Сказанное в полной мере относится и к системам проектного типа: отдельным проектам, портфелям и программам. Компаративный анализ экономических систем на различных иерархических уровнях преимущественно осуществляется в многокритериальной или многопроекционной постановке [3–5] (Lapaeva, 2015; Lapaeva, 2018; Lapaeva, 2017). Научный фундамент многокритериального выбора образует принцип Парето [19] (Pareto, 2018), определяющий эффективное множество (первый ранг) как совокупность взаимно несравнимых (неулучшаемых) альтернатив [21] (Danilov-Danilyan [et al.], 2003). При оперировании показателями в составе групп (проекций) выполняется многокритериальный анализ в проекциях, финализируемый синтезом многопроекционного решения. Сформулированные порядка 10 лет назад принципы многопроекционного выбора достаточно разнообразны [18] (Lapaeva, 2017). Они регламентируют жесткие, умеренные и мягкие сравнительные процедуры [9, 13, 17] (Lapaeva, 2015; Lapaeva, 2015; Lapaeva, 2015), комплексно учитывают позиции заинтересованных сторон [7, 11, 15] (Lapaeva, 2016; Lapaeva, 2015; Lapaeva, 2015), вводят в оборот оптимизационных расчетов прогнозные данные [6, 8, 10, 12, 14, 16] (Lapaeva, 2017; Lapaeva, 2016; Lapaeva, 2016; Lapaeva, 2016; Lapaeva, 2017; Lapaeva, 2016), что позволяет находить широкое многообразие решений-кластеров. Касательно сквозного исследования всей совокупности сравниваемых экономических систем отметим, что для многокритериальных постановок разработан принцип ранжирования, предполагающий последовательное формирование второго и нижестоящих рангов посредством применения к сокращаемому на предшествующий ранг остатку принципа Парето [2] (Lapaev, 2026). Тем самым синтезируется ранговая структура по мере перехода от лучших вариантов к худшим. В данной статье реализовано перенесение принципа ранжирования на многопроекционный выбор, что позволит гармонизировать концептуальные положения теории проекционной оптимизации с профильными методами и моделями [1] (Lapaev, 2025).

Основная часть

Представленный в статье принцип кластеризации предусматривает каскадное нахождение второго и нижестоящих кластеров посредством применения к оставшимся вариантам (остатку) системы принципов многопроекционного выбора. Сокращаемый в ходе исследования остаток есть разность между начальным множеством систем и всеми множествами вышестоящих кластеров. Остатком для построения второго кластера выступает начальное множество за исключением альтернатив первого кластера. Остатком для выделения третьего кластера служит начальное множество систем с удаленными элементами первого и второго кластеров и т.д. По результатам ряда итераций синтезируется полная (или усеченная) кластерная структура в логике от лучших вариантов к худшим.

Для пояснения сущности принципа кластеризации рассмотрим пример выявления кластерной структуры при сравнении экономических систем S₁–S₁₀ по трем проекциям из трех показателей в каждой.

Формируем первый кластер (протоструктуру). Сортированный массив в первой проекции имеет вид

.

Он получен посредством построчного покритериального упорядочения номеров экономических систем 1–10 слева направо от худших к лучшим по первым трем показателям. Здесь и далее в массивах эффективные варианты выделены жирным шрифтом.

Сортированный массив во второй проекции, отвечающий второй тройке показателей

.

Сортированный массив в третьей проекции

.

Синтезируем первый кластер М1_КЛ = {S₂, S₄, S₅, S₆, S₈, S₁₀} ∩ {S₂, S₃, S₅, S₇, S₉} ∩ {S₂, S₅, S₆, S₈} = {S₂, S₅}.

Далее из альтернатив S₁, S₃, S₄ и S₆–S₁₀ находим второй кластер.

Первая проекция

.

Вторая проекция

.

Третья проекция, итерация 1

.

.

Выделяем второй кластер М2_КЛ = {S₄, S₆, S₈, S₁₀} ∩ {S₃, S₄, S₇, S₉} ∩ {S₁, S₃, S₆, S₇, S₈} = Ø.

Переходим к квазиэффективному выбору.

Первая проекция, ранг 2

.

Вторая проекция, ранг 2

.

Третья проекция. Здесь множество второго ранга – М³_2р = {S₄, S₉, S₁₀}, а квазиэффективное множество – М³_кэф = {S₁, S₃, S₄, S₆, S₇, S₈, S₉, S₁₀}.

Синтезируем второй квазикластер М2_КВ = {S₁, S₄, S₆, S₇, S₈, S₉, S₁₀} ∩ {S₁, S₃, S₄, S₇, S₈, S₉, S₁₀} ∩ {S₁, S₃, S₄, S₆, S₇, S₈, S₉, S₁₀} = {S₁, S₄, S₇, S₈, S₉, S₁₀}.

Находим третий кластер из систем S₃ и S₆. В первой проекции доминирует альтернатива S₆, а во второй и третьей проекциях варианты взаимно несравнимы. Тогда М3_КЛ = {S₆}, а М4_КЛ = {S₃}. Таким образом, кластерная структура представлена четырьмя компонентами. Первый кластер включает две системы, второй квазикластер – шесть, а третий и четвертый кластеры – по одной. Суть принципа ясна.

Заключение

Принцип кластеризации, составив пару другому структурному принципу –принципу ранжирования [2], органично дополнит исходную систему принципов проекционного выбора в экономике, и будет востребован при развитии профильных подходов, методов, моделей и классификаций для исследования широкого круга экономических систем объектного и проектного типов на разных уровнях управления при решении насущных задач оценки устойчивости, инновационности, безопасности, эффективности и др.