Математическая модель управления остепенённостью университета: возрастная структура и подготовка аспирантов

Введение

Кадровый потенциал является фундаментальным ресурсом для достижения стратегических целей любого университета. Способность вуза к инновационному развитию и генерации новых знаний напрямую зависит от возрастной структуры и квалификации научно-педагогических работников. В настоящее время в большинстве университетов наблюдается отрицательная динамика формирования кадрового потенциала – отток кадров, старение кадров, низкий уровень омоложения. Данные проблемы обусловлены следующими причинами – потеря привлекательности работы в университете для молодежи, непростой и не всегда понятный путь достижения профессиональных высот и карьерного роста, эмоциональная незрелость при написании и подготовки диссертации к защите, отсутствие системы раннего выявления и закрепления талантливых выпускников [1,2,3,5,15].

Качество образовательного процесса и научный потенциал кафедры университета во многом определяются долей сотрудников, имеющих учёные степени кандидата или доктора наук. В российских условиях для сохранения конкурентоспособности и выполнения аккредитационных требований этот показатель не должен опускаться ниже определённого уровня, обычно не ниже 70 % [7,9,10,11].

Однако с течением времени происходит естественное старение профессорско-преподавательского состава, и многие высококвалифицированные кадры уходят на пенсию. Чтобы не допустить снижения остепенённости, кафедра должна заранее готовить новые остепененные кадры.

Остепененные молодые кадры могут появится на кафедрах двумя путями: 1) подготовка в аспирантуре и докторантуре молодых исследователей или 2) привлекать остепенённых со стороны. Учитывая, что подготовка и защита диссертации занимают от 3 до 5 лет, возникает следующий вопрос: сколько аспирантов необходимо набирать каждый год и когда это делать чтобы, несмотря движение профессорско-преподавательского состава: выход на пенсию, переход на другую работу в университете, увольнение из университета остепенённость кафедры оставалась не ниже 70 % [5,6].

При этом особенно важно прогнозировать средний возраст сотрудников, поскольку излишнее омоложение может привести к потере опыта, а чрезмерное старение – к проблемам отсутствия преемственности в дальнейшем [6,8,10].

Целью данного исследования является оценка текущего состояния кадрового потенциала университета, выявление угроз, связанных со старением профессорско-преподавательского состава, снижением количества молодых остепененных кадров и разработка математической модели, позволяющей прогнозировать кадровую потребность в вузе [8,12,13,15].

Проведенный анализ динамики численности штатного профессорско-преподавательского состава (ППС) показывает постепенное снижение. За последние 6 лет (с 2020 по 2026 гг.) численность ППС сократилась на 18%.

Рис. 1. Структура численности ППС в 2026 году с детализацией по возрасту и наличию учёной степени

Источник: составлено авторами по отчетным данным ДВГУПС

В настоящее время в общей численности ППС доля молодых преподавателей до 35 лет составляет лишь 13%, среди которых учёную степень имеют лишь 17,6%. Таким образом, доля ППС в возрасте до 35 лет и имеющих учёную степень составляет 2,3 % от общей численности сотрудников (рис. 1).

Анализ профессорско-преподавательского состава по возрасту и должностям показал средний возраст - 56 лет, следует отметить, что средний возраст профессора составляет 67 лет, и не всегда профессор имеет степень доктора наук. Заведующие кафедрами и директора институтов – все имеют научные степени, их средний возраст 45–60 лет.

Таблица 1

Анализ ППС по возрасту и должностям

Самый молодой контингент университета ассистенты, их средний возраст 30 лет, но это, как правило не остепененная категория ППС [8,12,13,15]. Общая остепенённость ППС формально высокая, но сосредоточена в возрастах 50 «плюс» (табл. 1).

Структура по должностям демонстрирует разрыв: ассистенты (средний возраст ~30 лет) почти не имеют степени (5%), старшие преподаватели (~50 лет) – лишь 15% имеют степень. Это говорит об отсутствии «лифта» для быстрого остепенения молодых [17,18]. Если такая тенденция сохранится без изменений, то через 5-7 лет университет столкнётся с массовым выходом на пенсию носителей уникальных научных знаний [1,2]. Приняв за целевой индикатор 25% ППС в возрасте до 35 лет (минимальный уровень для обеспечения преемственности и динамики), общая потребность университета составляет 91 человек в настоящий период времени. Детальный анализ структуры ППС по возрастным и квалификационным признакам позволяет сделать вывод о критические тенденции, несущих прямую угрозу устойчивости развития университета.

Материалы и методы

В своем исследовании мы ставим задачу определения потребности в молодых ученых, прогнозирования количества аспирантов и период их защит, необходимых для омоложения и остепенённости кадров университета используя разработанную многофакторную математическую модель и математический инструмент МАТLAB [8,10,15,16]. Разработанная математическая модель, позволяет в дискретном времени (год) отслеживать численность остепенённых и неостепенённых сотрудников по возрастным группам, имитировать старение и уход на пенсию, а также учитывать выпуск аспирантов из аспирантуры с защитой кандидатской диссертации [8,10,15,16]. На основе математической модели проводится численный расчет и определяется минимальное потребное количество аспирантов в год, обеспечивающее соблюдение порога остепенённости кафедр, и анализируется динамика среднего возраста. Рассмотрим механизм действия и основные параметры математической модели [8,10,15,16].

Таблица 2

Описание и обозначение символов в уравнениях и выражениях

Обозначение символа	Описание символа
	Число аспирантов, зачисленных в году
	Календарный год
	Пол сотрудника кафедры
	Возраст сотрудника кафедры
	Остепенённость кафедры
	Фиксированных срок подготовки аспиранта
	Возраст защищенных аспирантов
	Коэффициент успешности защит диссертаций
	Начальная численность сотрудников кафедры
	Количество неостепенённых сотрудников кафедры
	Количество остепенённых сотрудников кафедры
	Доля сотрудников кафедры женского пола
0,7	Норматив остепенённости кадров (требование ФГОС 3++),70%

1. Постановка цели и задач математической модели управления.

Прежде чем приступить к изложению созданной математической модели необходимо дать описание используемых обозначений символов в уравнениях и выражениях, которые представлены в табл. 2.

Целью математической модели управления остепенностью (кадрами) является обеспечение выполнения неравенства для всех , начиная с некоторого момента или на всём рассматриваемом горизонте , где – срок моделирования s(t). При этом необходимо минимизировать общее количество набранных аспирантов или найти постоянное значение .

Управляющим параметром является последовательность , где шаг – один календарный год.

Заметим, что управление имеет период запаздывания, а, именно, решение, принятое в году , влияет на остепенённость только через лет [ 8,10,15,16]. Поэтому необходимо прогнозировать, сколько остепенённых уйдёт на пенсию в будущем, и соответственно планировать набор.

1) Случай постоянного набора .

При постоянном наборе аспирантов модель становится автономной после переходного периода, длина которого равна максимальному сроку подготовки равное 5 годам. Для больших значений можно ожидать установления стационарного возрастного распределения (если параметры не меняются). Тогда зависимость от можно изучать через имитационную математическую модель. Задача сводится к нахождению минимального значения , при котором выполняется условие для всех . Такой подход даёт практический ответ на вопрос «Сколько аспирантов готовить ежегодно?».

2) Адаптированное управление.

Если возрастная структура сильно неравновесна (например, много сотрудников предпенсионного возраста), то в некоторые годы может потребоваться временно увеличить набор, а затем снизить. Это можно реализовать с помощью алгоритма обратной связи, основанного на прогнозе ухода остепенённых. Например, в каждом году вычисляем, сколько остепенённых покинут кафедру в интервале , и назначаем так, чтобы компенсировать эти потери с учётом коэффициента успешности. Однако для простоты и наглядности в работе рассматривается постоянный набор, а адаптивное управление остается для дальнейших исследований.

Далее представляем описание математической модели и методики прогнозирования потребности кафедры в молодых остепененных кадрах [15].

1) Дискретное время и возрастные группы.

Рассмотрим дискретное время . Весь профессорско-преподавательский состав разбит на возрастные когорты. Возраст сотрудника измеряется в целых годах. Введём два пола , где – мужчины, – женщины.

Возрастные интервалы сотрудников кафедры:

- для мужчин , где 64 – последний год работы, а 65 – выход на пенсию;

- для женщин , где 59 – последний год работы, а 60 – выход на пенсию.

Введём следующие обозначения:

- – количество неостепенённых сотрудников пола возраста в году ;

- – количество остепенённых сотрудников пола возраста в году ;

Суммарная численность ППС определяется по выражению (1)

, (1)

Доля остепенённых ППС определяется по выражению (2)

. (2)

Требования по остепенённости ППС, налагаемое на кафедру для всех значений .

2) Процессы старения и выхода на пенсию.

Ежегодно каждый сотрудник переходит в следующую возрастную группу. Максимальные возраста для мужчин и женщин:

- для мужчин

, , (3)

- для женщин

, . (4)

Количество вышедших на пенсию ППС в отчетном году определяется по уравнению (5)

. (5)

Подготовка аспирантов и пополнение остепенёнными.

Предполагается, что кафедра ежегодно набирает в аспирантуру человек, причём доля женщин среди аспирантов равна (например, 0,5). Таким образом, количество аспирантов-мужчин , аспирантов-женщин .

Подготовка и защита диссертации может быть фиксированным или распределенным и занимать лет. Коэффициент успешности одинаков для обоих полов. Тогда из набора года через лет получаем:

- новых остепенённых мужчин ;

- новых остепенённых женщин .

Возраст аспиранта в момент защиты принимается равным лет. Важно, чтобы был не меньше минимального возраста 22 года.

Таким образом, имеем систему уравнений пополнения ППС

(6)

Если срок подготовки распределён на 3, 4, 5 лет с долями , , , то пополнение происходит в соответствующие годы с весами .

Для удобства реализации введём массивы для каждого пола:

- для мужчин

, ,

- для женщин

, .

Тогда алгоритм перехода от года к году состоит из нескольких этапов:

1. Старение и выход на пенсию

- для каждого мужчины

, , (7)

- для каждой женщины

, . (8)

Мужчины возраста 64 и женщины возраста 59 не учитываются в расчете.

2. Добавление новых остепенённых из аспирантуры

Если , то для каждого пола , получим

, (9)

Добавляем к возрастной группе в уравнениях (7-8)

3. Обновление состояния

- для каждого мужчины

, , (10)

- для каждой женщины

, . (11)

4. Вычисление показателей

,

3) Учёт распределённого срока подготовки аспирантов.

Более реалистичная модель предполагает, что среди аспирантов часть защищается через 3 года, часть – через 4, часть – через 5.

Пусть доли таких выпусков составляют , , соответственно, причём . Тогда из набора года в год добавляется остепенённых, в год добавляется , в год – . Соответственно, в уравнениях появляются три слагаемых с разными запаздываниями. В программной реализации это легко осуществить, храня историю наборов.

3. Численная реализация модели в автоматизированной программе MatLab

Принята начальная численность ППС человек, долю остепенённых . Распределение по возрастам моделируема с помощью усечённого нормального распределения для различных гендерных возрастов. Выполнен расчет для трех вариантов моделирования, представленных в табл. 3. Рассматриваем три варианта исходных данных с различным возрастом, остепененные, неостепенённые.

Таблица 3

Исходные данные для моделирования

Затем были нормированы массивы так, чтобы общая численность и доля остепенённых соответствовали заданным значениям.

Остальные параметры модели представлены следующими данными:

- возраст защищенных аспирантов – лет;

- фиксированных срок подготовки аспиранта – года;

- коэффициент успешности защит диссертаций – ;

- минимальная остепенённость кафедры – ;

- срок моделирования – лет.

Интерпретация результатов и практические рекомендации

Результаты моделирования представлены на графиках (рис. 2,3,4), для трёх вариантов построены зависимости и определены потребности в наборе аспирантов для снижения среднего возраста и повышения остепенённости молодых ученых [4,13,15,16].

Рис. 2. Динамика доли остепенённых для варианта 1 (при сроке подготовке и защите аспиранта равного 4 года)

Источник: составлено авторами на основе проведенных расчетов

Как показывают проведенные расчёты, при наборе 4 аспирантов в год и успешности защиты через 4 года (нормативный срок подготовки научных и научно-педагогических кадров в аспирантуре по техническим специальностям) в 1 варианте, мы наблюдаем наиболее благоприятный сценарий, представленный на рис. 2. Доля остепенённых в первые 4 года сохраняется на уровне 0,72, затем начинает методично расти и к 20-му году достигает примерно 0,85–0,86. Порог не нарушается ни на одном шаге. Средний возраст сотрудников сначала увеличивается с 44 до 48,5 лет к 4-му году – сказывается старение имеющегося состава, – а затем снижается до 37 лет к 18–20-му году. Таким образом, при относительно молодом исходном остепенённом составе постоянный набор достаточен для поддержания остепенённости и постепенного омоложения кафедры. Однако к концу периода средний возраст может стать слишком низким, что требует сохранения носителей опыта и системы наставничества.

Рис. 3. Динамика доли остепенённых для варианта 2 (при сроке подготовке и защите аспиранта равного 4 года)

Источник: составлено авторами на основе проведенных расчетов

На рис. 3 показан менее благоприятный сценарий. Доля остепенённых в первые годы снижается с 0,72 примерно до 0,69 к 4-му году, то есть формально опускается ниже нормативных 70%. После того как с 5-го года начинают поступать защитившиеся аспиранты, показатель возрастает и к 20-му году достигает 0,85. Средний возраст сначала увеличивается с 49 лет до 52,5 лет к 4-му году, а затем снижается до 38 лет к 16–20-му году. Таким образом, постоянный набор обеспечивает выполнение требования лишь на длительном горизонте, но не предотвращает временный провал по остепенённости. Для варианта 2 необходим резерв, например, увеличение набора в первые 4–5 лет до 5–6 человек, привлечение остепенённых специалистов со стороны или ускорение защиты части аспирантов.

Наиболее критичный сценарий омоложения профессорско-преподавательского состава показан на рис. 4.

Рис. 4. Динамика доли остепенённых для варианта 3 (при сроке подготовке и защите аспиранта равного 4 года)

Источник: составлено авторами на основе проведенных расчетов

Доля остепенённых падает с 0,72 примерно до 0,61 к 4-му году, причём порог 0,70 оказывается нарушен уже на 1–2-м году. Возврат к уровню 70 % происходит только к 7-му году, а к 15–20-му году показатель достигает 0,85. Средний возраст первые 4 года держится на уровне 48 лет, затем быстро снижается до 33–34 лет к 12–14-му году и лишь к 20-му году повышается до 39 лет. Это означает, что при исходно старом остепенённом составе постоянный набор недопустим. Требуется адаптивное управление, а, именно, временное увеличение набора до 6–8 аспирантов в год в первые 5–7 лет, привлечение внешних остепенённых кадров, а также меры по удержанию опытных сотрудников. Чрезмерное омоложение, когда средний возраст падает до 33–34 лет, также рискованно из-за потери преемственности научных школ [17,18].

Сопоставление вариантов омоложения кафедр, учитывающих средний возраст и подготовку научных кадров в аспирантуре, рис. 2–4 подтверждает, что постоянный набор аспирантов не является универсальным решением, т.к. он работает для варианта 1, даёт временный провал для варианта 2 и приводит к глубокому и длительному нарушению порога для варианта 3. Кроме того, нами взяты практически идеальный вариант защиты 90% аспирантов в течении нормативного срока обучения - 4 года. Поэтому на практике целесообразно использовать адаптивную стратегию, которая заключается в том, что ежегодно прогнозировать выход остепенённых сотрудников на пенсию на горизонте T лет и назначать набор так, чтобы компенсировать эти потери с учётом коэффициента успешности защит k. Для варианта 1 можно ограничиться стабильным набором 4–5 человек в год; для варианта 2 увеличивать набор до 5–6 человек в первые годы; для варианта 3 не менее 6–8 человек в год на переходном этапе с последующим снижением. Дополнительно необходимо контролировать средний возраст коллектива, поддерживая баланс между омоложением и сохранением опытных кадров [8,13,15,16].

Выводы

В работе построена математическая модель динамики профессорско-преподавательского состава кафедр университета, учитывающая такие критерии, как:

- возрастную структуру сотрудников с учёным званием и без него;

- естественное старение и уход на пенсию по достижении 65 лет или 59 лет;

- подготовку аспирантов с временным лагом 3–5 лет и коэффициентом успешности;

- требование к минимальной доле остепенённых по программам подготовки студентов высшего образования - 70 %.

На основе модели разработан алгоритм для программного обеспечения MatLab, позволяющий подобрать минимальный постоянный ежегодный набор аспирантов. Для типовой исходной конфигурации (38 человек, 72 % остепенённых) установлено, что не всегда набор 4 аспирантов в год является достаточным, обеспечивающим омоложение и повышение остепенённости кафедр.

В данной работе представлена идеальная модель, не учитывающая такие факторы как доля академических отпусков, окончание аспирантуры без представления диссертации в диссертационный совет, срок написания и защиты диссертации в срок, превышающий нормативный и др. факторы. В следствие более глубокого изучения влияния различных факторов наши дальнейшие исследования строится на следующих направлениях:

- введение стохастических факторов (вероятность защит, отток сотрудников до достижения пенсионного возраста);

- оптимизация нестационарного управления (например, с помощью динамического программирования);

- учёт различных специальностей и номенклатуры учёных степеней;

- интеграция с финансовой моделью (затраты на обучение аспирантов).